弄懂“三门问题”，成功概率翻倍，来用代码验证一下

看到一段关于“三门问题”的视频，第一感觉就是视频的结论有误。本想一笑了之，但看了评论，迷惑了：三门问题的答案到底是什么？

作为勤学好问的码农，不知道最终答案，还是很难受的，于是深入研究一下，发现”小丑竟然是自己“。如果你想挑战一下自己，可以先跳过推理和结论部分，自己先得出一个答案，然后再看看是否正确。

一条朋友圈
在花了一个小时，弄懂三门问题之后，发了一条这样的朋友圈：

image-20211031201436187

三门问题：有三扇门，其中一扇后面是汽车，另外两扇是山羊。当你选择一扇门后，主持人从另外两扇门中打开一扇有山羊的。那么，此时换门是否会增加获得汽车的概率？

第一次错：直觉，换与不换都是1/2的概率；差点止步于此，得出结论：都是骗人的。

第二次错：列举，（选1，去2，换）、（选2，去1，换）、（选3，去1，不换）、（选3、去2、不换），看似概率依旧是1/2。但这里犯了一个错误，没引入首选的概率，也就是后两种情况不能按1/4算，只能按1/6算。

第三次引入概率：1/3（选1，去2，换）、1/3（选2，去1，换）、1/6（1/3 * 1/2）（选3，去1，不换）、1/6（1/3 * 1/2）（选3、去2、不换），后两项合计只有1/3概率。

所以，三门问题的答案是：选择换。概率会从原来的1/3，变成2/3；

通过这个问题在想：有时候，坚持可能是错的，可能是主观判断，可能环境已经发生了变化；但有时候又要坚持，要坚持对答案的怀疑，不断寻找答案。

如果从底层逻辑来说就是：坚持动态的看待问题。也就是：士别三日当刮目相待。

发完这条朋友圈，感觉这个问题有必要通过程序实现一下，同时写篇文章分享出来，于是就有了这篇文章。

如果上面的分析没看懂，也没关系，下面就结合代码再分析实践一下。

三门问题
三门问题出自美国的电视游戏节目Let's Make a Deal，问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。

问题场景：

参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门是否会增加参赛者赢得汽车的机率。

据说，90%的人都选择了不换。你的选择是什么呢？

概率分析
先看下图，存在汽车、山羊1、山羊2，三个门：

三扇门的概率

选手选择三个门的概率都是三分之一，下面进行具体的假设：

 ● 假设选手选择了山羊1，那么主持人打的门只能是山羊2，因为有汽车的门是不能打开的。这种情况发生的概率为：1/3（选手选择山羊1的概率）* 1（主持人的选择是确定的） = 1/3；此时如果换，则赢得汽车；
 ● 假设选手选择了山羊2，那么主持人打的门只能是山羊1，因为有汽车的门是不能打开的。这种情况发生的概率为：1/3（选手选择山羊2的概率）* 1（主持人的选择是确定的） = 1/3；此时如果换，则赢得汽车；
 ● 假设选手选择了汽车，那么主持人有两种打开选择：山羊1和山羊2。主持人选择山羊1的概率：1/3（选手选择汽车的概率）* 1/2（主持人二选一） = 1/6；主持人选择山羊2的概率：1/3（选手选择汽车的概率）* 1/2（主持人二选一） = 1/6；所以，当选手选择了汽车的门时，发生的概率为：1/3 * 1/2 + 1/3 * 1/2 = 1/3。此时如果不换，则赢得汽车；
很显然，三种情况发生的概率都为三分之一，换之后赢得汽车的概率是不换的2倍。也就是说：换之后，赢得汽车的概率变成了2/3。

程序演示
上面做了理论分析，下面写一段代码，来验证一下：

public class ThreeDoors {

 /**
  * 随机选择器
  */
 private static final Random RANDOM = new Random();

 /**
  * 成功总次数
  */
 private static int SUCCESS_COUNT = 0;

 /**
  * 重复执行10w次
  */
 private static final int PLAY_TIMES = 100000;

 public static void main(String[] args) {

  // 执行游戏10w次
  for (int i = 0; i < PLAY_TIMES; i++) {
   playGame();
  }

  // 计算选择"换"的概率
  BigDecimal yield = new BigDecimal(SUCCESS_COUNT)
    .divide(new BigDecimal(PLAY_TIMES), 4, RoundingMode.HALF_UP)
    .multiply(new BigDecimal(100));
  System.out.println("执行" + PLAY_TIMES + "次实验，选择【交换】的概率为：" + yield + "%");
 }

 public static void playGame() {

  // 初始化三扇门，默认为false，都没有车
  boolean door1 = false, door2 = false, door3 = false;

  // 选手选择的门是否为汽车，true：是
  boolean pickedDoor;
  // 最后剩下的门是否为汽车，true：是
  boolean leftDoor;

  // 第一步：随机选择一扇门，放入汽车
  switch (pickDoor(3)) {
   case 1:
    door1 = true;
    break;
   case 2:
    door2 = true;
    break;
   case 3:
    door3 = true;
    break;
   default:
    System.out.println("异常数值");
    break;
  }

  // 第二步：选手选择一扇门，依旧采用上面选门的算法
  int playerPickedDoor = pickDoor(3);

  // 第三步：主持人移除一扇有山羊的门
  // 其中主持人只能二选一，移除1一扇门，相当于选择了另一扇门
  if (playerPickedDoor == 1) {
   // 选手选择门1
   pickedDoor = door1;
   // 如果门2有车，则只能移除门3
   if (door2) {
    leftDoor = door2;
   } else if (door3) {
    // 如果门3有车，则只能移除门2
    leftDoor = door3;
   } else {
    // 两个门都没车，随机二选一
    if (pickDoor(2) == 1) {
     leftDoor = door2;
    } else {
     leftDoor = door3;
    }
   }
  } else if (playerPickedDoor == 2) {
   // 选手选择门2
   pickedDoor = door2;
   // 如果门1有车，则只能移除门3
   if (door1) {
    leftDoor = door1;
   } else if (door3) {
    // 如果门3有车，则只能移除门1
    leftDoor = door3;
   } else {
    // 两个门都没车，随机二选一
    if (pickDoor(2) == 1) {
     leftDoor = door1;
    } else {
     leftDoor = door3;
    }
   }
  } else {
   // 选手选择门3
   pickedDoor = door3;
   // 如果门1有车，则只能移除门2
   if (door1) {
    leftDoor = door1;
   } else if (door2) {
    // 如果门2有车，则只能移除门1
    leftDoor = door2;
   } else {
    // 两个门都没车，随机二选一
    if (pickDoor(2) == 1) {
     leftDoor = door1;
    } else {
     leftDoor = door2;
    }
   }
  }

  // 第四步：上述结果一定的情况，选手选择更换门
  pickedDoor = leftDoor;

  // 第五步：判断该门是否有车
  if (pickedDoor) {
   SUCCESS_COUNT++;
  }
 }
 
 /**
  * 随机选择一个门
  */
 public static int pickDoor(int bound) {
  return RANDOM.nextInt(bound) + 1;
 }
}

上述实现方法，暂且未考虑算法优化，只是简单情况判断处理。

上述实现分以下几步：

 ● 第一步：随机选择一扇门，放入汽车，这里采用Random随机数，如果对应的门后为车，则对应的值设置为true；
 ● 第二步：选手选择一扇门，算法依旧采用Random随机数；
 ● 第三步：在选手选择一扇门的前提下，主持人移除一扇没有汽车的门。这里并未处理移除的门，而是记录了移除之后剩下的那扇门的值。如果两扇门都没有车，则随机二选一。
 ● 第四步：选手选择交换，即选手选择的门变成了剩下的那扇门。
 ● 第五步：开门，验证，如果成功记录一次；
 ● 第六步：执行10w次之后，计算百分比；
最终打印日志如下：

执行100000次实验，选择【交换】的概率为：66.7500%

多执行几次，会发现几乎都在66%-67%之间，说明选择【换】，的确可以让成功的概率翻倍。

小结
最后，回顾一下整个过程：无意看到一条讲”三门问题“的视频，先是做出了直观判断（错误的），对别人的结论嗤之以鼻，然后发现许、异议。于是，开始寻求佐证，最终得到了正确的答案。

正像在朋友圈中说的：有时候，坚持可能是错的，可能是因为主观判断，也可能是因为环境已经发生了变化；但有时候又要坚持，要坚持对答案的怀疑，对答案的不断追寻。

这也应该是我们做事的底层逻辑，不能单靠【感觉】来判断，更多的要采用事实作为依据。特别是程序员，我们还可以用程序来解决类似的问题。

同时，你是否发现，用程序来解决生活中的一些问题，不也是很有意思的吗？

文章转载自公众号：程序员新视界