经典 O(n²)比较类排序算法

经典 O(n²)比较类排序算法

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摘要：排序算法太多了，很多甚至连名字你都没听过，比如猴子排序、睡眠排序等。最常用的：冒泡排序、选择排序、插入排序、归并排序、快速排序、计数排序、基数排序、桶排序。根据时间复杂度，我们分三类来学习，今天要讲的就是 冒泡、插入、选择 排序算法。

十种常见的的排序算法可以分两大类：

1. 比较类排序：通过比较来决定元素的相对次序，由于其时间复杂度无法突破 O(nlog~n~)，因此也叫做非线性时间排序。

非比较类排序：不是通过比较元素来决定元素的相对次序，可以突破比较排序的时间下限，线性时间运行，也叫做线性时间非比较类排序。

学会评估一个排序算法
学习算法，除了知道原理以及代码实现以外，还有更重要的是学会如何评价、分析一个排序算法的 执行效率、内存损耗、稳定性。

 

 

执行效率
一般通过如下方面衡量：

1.最好、最坏、平均时间复杂度

为何要区分这三种时间复杂度？第一，通过复杂度可以大致判断算法的执行次数。第二，对于要排序的数据有的无序、有的接近有序，有序度不同不同对于执行时间是不一样的，所以我们要区分不同数据场景下算法的性能。

2. 时间复杂度的系数、常数、低阶

我们知道，时间复杂度反应的是数据规模 n 很大的时候的一个增长趋势，所以它表示的时候会忽略系数、常数、低阶。但是实际的软件开发中，我们排序的可能是 10 个、100 个、1000 个这样规模很小的数据，所以，在对同一阶时间复杂度的排序算法性能对比的时候，我们就要把系数、常数、低阶也考虑进来。

3.比较次数移动（交换）数据次数基于比较排序的算法执行过程都会涉及两个操作、一个是比较，另一个就是元素交换或者数据移动。所以我们也要把数据交换或者移动次数考虑进来。

 

内存消耗
算法的内存消耗通过空间复杂度来衡量，不过在这里针对排序算法的内存算好还有一个新概念，原地排序就是特指空间复杂度为 O(1) 的算法，这次所讲的算法都是原地排序算法。

 

算法的稳定性
如果待排序的序列中存在值相等的元素，经过排序之后，相等元素之间原有的先后顺序不变。** 比如 a 原本在 b 前面，而 a=b ，排序之后 a 仍然在 b 的前面。

比如我们有一组数据 2，9，3，4，8，3，按照大小排序之后就是 2，3，3，4，8，9。

这组数据里有两个 3。经过某种排序算法排序之后，如果两个 3 的前后顺序没有改变，那我们就把这种排序算法叫作稳定的排序算法；如果前后顺序发生变化，那对应的排序算法就叫作不稳定的排序算法。

 

冒泡排序
冒泡排序只会操作相邻的两个数据。每次冒泡操作都会对相邻的两个元素进行比较，看是否满足大小关系要求。如果不满足就让它俩互换。一次冒泡会让至少一个元素移动到它应该在的位置，重复 n 次，就完成了 n 个数据的排序工作。

这个算法的名字由来是因为越小的元素会经由交换慢慢“浮”到数列的顶端。

作为最简单的排序算法之一，冒泡排序给我的感觉就像 Abandon 在单词书里出现的感觉一样，每次都在第一页第一位，所以最熟悉。冒泡排序还有一种优化算法，就是立一个 flag，当在一趟序列遍历中元素没有发生交换，则证明该序列已经有序。但这种改进对于提升性能来说并没有什么太大作用。

 

算法步骤

1.比较相邻的元素。如果第一个比第二个大，就交换他们两个。
2.对每一对相邻元素作同样的工作，从开始第一对到结尾的最后一对。这步做完后，最后的元素会是最大的数。
3.针对所有的元素重复以上的步骤，除了最后一个。
持续每次对越来越少的元素重复上面的步骤，直到没有任何一对数字需要比较。

 

/**
 * 冒泡排序: 时间复杂度 O(n²)，最坏时间复杂度 O(n²)，最好时间复杂度 O(n)，平均时间复杂度 O(n²)
 * 空间复杂度 O(1)，稳定排序算法
 */
public class BubbleSort implements ComparisonSort {
    @Override
    public int[] sort(int[] sourceArray) {
        // 复制数组，不改变参数内容
        int[] result = Arrays.copyOf(sourceArray, sourceArray.length);
        if (sourceArray.length <= 1) {
            return result;
        }
        int length = result.length;
        for (int i = 0; i < length; i++) {
            // 设定标记，当没有数据需要交换的时候则说明已经有序，提前退出外部循环
            boolean hasChange = false;
            for (int j = 0; j < (length - 1) - i ; j++) {
                if (result[j] > result[j + 1]) {
                    // 数据交换
                    int temp = result[j];
                    result[j] = result[j + 1];
                    result[j + 1] = temp;
                    hasChange = true;
                }
            }
            if (!hasChange) {
                // 没有数据交换，已经有序,提前退出
                break;
            }
        }
        return result;
    }
}

 

那么问题来了，我们来分析下这个算法的效率如何，教大家学会如何评估一个算法：

1.冒泡是原地排序算法么？

因为冒泡的过程只有相邻数据的交换操作，属于常量级别的临时空间，所以空间复杂度是 O(1)，属于原地排序算法。

 

2.是稳定排序算法？

只有交换才改变两个元素的前后顺序，当相邻数据相等，不做交换，所以相同大小的数据在排序前后都不会改变顺序，属于稳定排序算法。

 

3.时间复杂度

最好时间复杂度：当数据已经有序，只需要一次冒泡，所以是 O(1)。（ps：都已经是正序了，还要你冒泡何用）

最坏时间复杂度： 数据是倒序的，我们需要进行 n 次冒泡操作，所以最坏情况时间复杂度为 O(n2)。（ps：写一个 for 循环反序输出数据不就行了，干嘛要用你冒泡排序呢，我是闲的吗）

 

插入排序
我们先来看一个问题。一个有序的数组，我们往里面添加一个新的数据后，如何继续保持数据有序呢？很简单，我们只要遍历数组，找到数据应该插入的位置将其插入即可。

插入排序是一种最简单直观的排序算法，它的工作原理是通过构建有序序列，对于未排序数据，在已排序序列中从后向前扫描，找到相应位置并插入。

插入排序也包含两种操作，一种是元素的比较，一种是元素的移动。当我们需要将一个数据 a 插入到已排序区间时，需要拿 a 与已排序区间的元素依次比较大小，找到合适的插入位置。找到插入点之后，我们还需要将插入点之后的元素顺序往后移动一位，这样才能腾出位置给元素 a 插入。

代码如下所示：

/**
 * 插入排序：时间复杂度 O(n²),平均时间复杂度 O(n²),最好时间复杂度 O(n)，
 * 最坏时间复杂度 O(n²),空间时间复杂度 O(1).稳定排序算法。
 */
public class InsertionSort implements ComparisonSort {

    @Override
    public int[] sort(int[] sourceArray) {
        int[] result = Arrays.copyOf(sourceArray, sourceArray.length);
        if (sourceArray.length <= 1) {
            return result;
        }
        // 从下标为 1 开始比较选择合适位置插入，因为下标 0 只有一个元素，默认是有序
        int length = result.length;
        for (int i = 1; i < length; i++) {
            // 待插入数据
            int insertValue = result[i];
            // 从已排序的序列最右边元素开始比较，找到比待插入树更小的数位置
            int j = i - 1;
            for (; j >= 0; j--){
                if (result[j] > insertValue) {
                    // 向后移动数据,腾出待插入位置
                    result[j + 1] = result[j];
                } else {
                    // 找到待插入位置，跳出循环
                    break;
                }
            }
            // 插入数据，因为前面多执行了 j--，
            result[j + 1] = insertValue;
        }
        return result;
    }
}

依然继续分析该算法的性能。

1.是否是原地排序算法

从实现过程就知道，插入排序不需要额外的存储空间，所以空间复杂度是 O(1)，属于原地排序。

 

2.是否是稳定排序算法

对于值相等的元素，我们选择将数据插入到前面元素的后面，这样就保证原有的前后顺序不变，属于稳定排序算法。

 

3.时间复杂度

如果要排序的数据已经是有序的，我们并不需要搬移任何数据。如果我们从尾到头在有序数据组里面查找插入位置，每次只需要比较一个数据就能确定插入的位置。所以这种情况下，最好是时间复杂度为 O(n)。注意，这里是从尾到头遍历已经有序的数据。

如果数组是倒序的，每次插入都相当于在数组的第一个位置插入新的数据，所以需要移动大量的数据，所以最坏情况时间复杂度为 O(n²)。

还记得我们在数组中插入一个数据的平均时间复杂度是多少吗？没错，是 O(n)。所以，对于插入排序来说，每次插入操作都相当于在数组中插入一个数据，循环执行 n 次插入操作，所以平均时间复杂度为 O(n²)。

 

选择排序
选择排序是一种简单直观的排序算法，无论什么数据进去都是 O(n²) 的时间复杂度。所以用到它的时候，数据规模越小越好。

选择排序算法的实现思路有点类似插入排序，也分已排序区间和未排序区间。但是选择排序每次会从未排序区间中找到最小的元素，将其放到已排序区间的末尾。

 

算法步骤

1.首先在未排序序列中找到最小（大）元素，存放到排序序列的起始位置
2.再从剩余未排序元素中继续寻找最小（大）元素，然后放到已排序序列的末尾。
3.重复第二步，直到所有元素均排序完毕。

代码如下：

public class SelectionSort implements ComparisonSort {

    @Override
    public int[] sort(int[] sourceArray) {
        int length = sourceArray.length;
        int[] result = Arrays.copyOf(sourceArray, length);
        if (length <= 0) {
            return result;
        }
        // 一共需要 length - 1 轮比较
        for (int i = 0; i < length - 1; i++) {
            // 每轮需要比较的次数 length - i，找出最小元素下标
            int minIndex = i;
            for (int j = i + 1; j < length; j++) {
                if (result[j] < result[minIndex]) {
                    // 查出每次最小元素下标
                    minIndex = j;
                }
            }
            // 将当前 i 位置的数据与最小值交换数据
            if (i != minIndex) {
                int temp = result[i];
                result[i] = result[minIndex];
                result[minIndex] = temp;
            }
        }
        return result;
    }
}

首先，选择排序空间复杂度为 O(1)，是一种原地排序算法。选择排序的最好情况时间复杂度、最坏情况和平均情况时间复杂度都为 O(n²)。

那选择排序是稳定的排序算法吗？

答案是否定的，选择排序是一种不稳定的排序算法。从我前面画的那张图中，你可以看出来，选择排序每次都要找剩余未排序元素中的最小值，并和前面的元素交换位置，这样破坏了稳定性。

比如 5，8，5，2，9 这样一组数据，使用选择排序算法来排序的话，第一次找到最小元素 2，与第一个 5 交换位置，那第一个 5 和中间的 5 顺序就变了，所以就不稳定了。正是因此，相对于冒泡排序和插入排序，选择排序就稍微逊色了。

 

总结
这三种时间复杂度为 O(n²) 的排序算法中，冒泡排序、选择排序，可能就纯粹停留在理论的层面了，学习的目的也只是为了开拓思维，实际开发中应用并不多，但是插入排序还是挺有用的。后面讲排序优化的时候，我会讲到，有些编程语言中的排序函数的实现原理会用到插入排序算法。（希尔排序就是插入排序的一种优化）

今天讲的这三种排序算法，实现代码都非常简单，对于小规模数据的排序，用起来非常高效。但是在大规模数据排序的时候，这个时间复杂度还是稍微有点高，所以我们更倾向于用下一节要讲的时间复杂度为 O(nlogn) 的排序算法。

 

课后思考
最后给大家一个问题，欢迎大家留言探讨！

问题是：插入排序和冒泡排序时间复杂度相同，都是 O(n²),实际开发中更倾向于插入排序而不是冒泡排序

 

 

 

 

文章转载自公众号：码哥字节